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Des souvenirs de lycée, les logarithmes

juillet 2, 2008

Une des notations mathématiques qui est abordée au lycée en algèbre sont les logarithmes. Les propriétés de cette notation la rendent très attrayante pour exprimer et résoudre des équations. Mais vous souvenez vous du raisonnement qui se cache derrière ce nom ? Et savez-vous comment retrouver cette information en SAS ?

Cet article intéressera plus particulièrement ceux qui veulent replonger dans leur cours de statistique. En effet, les distributions statistiques, par exemple, sont formulées avec des équations contenant souvent des logarithmes. D’un point de vue professionnel, je n’ai jamais eu besoin de calculer un logarithme sous SAS pour l’industrie pharmaceutique.

1. Définition

Combien de fois faut-il multiplier 10 pour obtenir 1000 ? ou encore combien de fois faut-il multiplier 2 pour obtenir 32 ? Si vous avez la réponse à ces questions, vous êtes capable de résoudre des logarithmes.

Un logarithme est défini par une base. 10 et 2 sont les plus simples à comprendre dans un premier temps. Une base « e » rend les calculs plus simples. On parle alors de logarithme népérien ou logarithme naturel.

Dans le cas général, log symbolise le logarithme de manière général. Dans le cas particulier du logarithme népérien, log base e, le symbole est ln.

Les mathématiciens emploient plus facilement la base e dans la vie de tous les jours pour les raisons de facilité de calcul. Mais on a l’ordinateur de nos jours, me direz-vous. Alors il faut pensez au temps d’exécution de calculs complexes. Et là, même l’ordinateur sera content d’avoir des options pour résoudre le problème plus rapidement !

2. Exemples

Dans ce premier exemple, le logarithme de 1000 est défini par une base 10. Ainsi le but est de retrouver le nombre de fois 10 doit être multiplié pour obtenir le chiffre 1000. Sachant que 10x10x10=1000 ou de manière plus condensée 103=1000, la réponse est 3 fois.

log10 1000 = 3 car pour résoudre 10x=1000, on note x=3, soit 10x10x10=1000.

Dans ce second exemple, une base 2 est choisie. Il faut trouver le nombre de fois le nombre 2 est multiplié pour obtenir 32. La réponse est 5 fois.

log2 32 = 5 car pour résoudre 2x=32, on note x=5 soit 2x2x2x2x2=32.

Dans ce dernier exemple, une base e est choisie. Il s’agit du logarithme naturel ou logarithme népérien noté en langage courant ln. Pour retrouver la valeur approximative de e, on résout e1 sur son ordinateur ou sa calculatrice et on obtient une valeur de l’ordre de 2,71828.

loge 1 = ln 1 = 0 car pour résoudre ex =  1, on note x=0.

3. Calculer un logarithme en SAS

En SAS, il existe plusieurs types de fonctions LOG. Ainsi, notre log base 10 de 1000 devient LOG10 (1000) et notre log base 2 de 32 devient LOG2(32). Pour ce qui est du logarithme népérien, il suffit de ne pas préciser de chiffre LOG(1).

data _null_;
   log10_1000 = log10(1000);
   log2_32    = log2(32);
   loge_1     = log(1);
   loge_0     = log(0);
   put log10_1000 =;
   put log2_32    =;
   put loge_1     =   loge_0 = ;
run;

Dans l’exemple ci-dessus, j’ai arbitrairement choisi de ne pas créer de data set SAS en utilisant le mot _null_. Vous pouvez choisir de créer un data set et de l’afficher avec PROC PRINT.

Pour afficher les valeurs je me sers des instructions PUT. En choisissant d’ajouter le signe égal après le nom de la variable, non seulement la valeur des variables apparaîtront, mais aussi le nom des variables et le signe égal. Cela rend la lecture de l’information affichée dans la LOG plus facile. Faites le test sans le signe égal et vous verrez la différence dans la LOG.

Pour plus de précisions sur les fonctions logarithmiques, vous pouvez vous reporter à la documentation en ligne (SAS Online Doc. : LOG FunctionLOG10 FunctionLOG2 Function). Sachez par ailleurs qu’il existe d’autres fonctions log sous SAS : LOGBETA, LOGCDC, LOGPDF et LOGSDF.

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